Με τα μαθήματα κατεύθυνσης συνεχιστήκαν σήμερα οι Πανελλαδικές εξετάσεις για τους μαθητές όλης τη χώρας. Στη Νεοελληνική λογοτεχνία διαγωνίστηκαν οι υποψήφιοι της θεωρητικής κατεύθυνσης, με τα θέματα να χαρακτηρίζονται βατά. Στα μαθηματικά αντιθέτως διαγωνιστήκαν οι υποψήφιοι της θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης, με τα θέματα να χαρακτηρίζονται ως κλιμακούμενης δυσκολίας.

Α

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ
ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ
ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑ 1o
Α. Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ ισχύει 0)x(f= , να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.
Μονάδες 10
Β. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της;
Μονάδες 5
Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α. Αν z1, z2 είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει 2121zzzz⋅=
Μονάδες 2
β. Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο x0∈A, όταν f(x)≥f(x0) για κάθε x∈A
Μονάδες 2
γ. 1x1xlim0x=-συν→
Μονάδες 2
δ. Κάθε συνάρτηση f συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.
Μονάδες 2
ε. Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα [α, β] και ισχύει f(x)<0 για κάθε x∈[α, β], τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τις ευθείες x=α, x=β και τον άξονα ναιε′ίxx
∫βα=ΩΕdx)x(f)(
Μονάδες 2

ΘΕΜΑ 2ο
Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς
z=(2λ+1)+(2λ-1)i , λ∈
Α.α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z, για τις διάφορες τιμές του λ∈
Μονάδες 9
β. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός αριθμός έχει το μικρότερο δυνατό μέτρο. i1z0-=
Μονάδες 8

Β. Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί w οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση 02z12ww=-+-
όπου ο μιγαδικός αριθμός που αναφέρεται στο προηγούμενο ερώτημα. 0z
Μονάδες 8

ΘΕΜΑ 3ο
Δίνεται η συνάρτηση
,1x ),1xln( (x)fx->+-α=
10ό≠ακαι>απου
A. Αν ισχύει 1)x(f≥ για κάθε ,1x-> να αποδείξετε ότι α=e
Μονάδες 8
Β. Για α=e,
α. να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή.
Μονάδες 5
β. να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ]0,1(- και γνησίως αύξουσα στο διάστημα ),0[∞+
Μονάδες 6
γ. αν β, γ ∈),0()0,1(∞+∪-, να αποδείξετε ότι η εξίσωση 02x1)(f1x1)(f=--γ+--β
έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1, 2)
Μονάδες 6

ΘΕΜΑ 4ο

α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση G είναι συνεχής στο διάστημα [0, 2].
Μονάδες 5
β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση G είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (0, 2) και ότι ισχύει 2x0,x)x(H)x(G2<<-=′
Μονάδες 6
γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας αριθμός α∈(0, 2) τέτοιος ώστε να ισχύει Η(α)=0.
Μονάδες 7
δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας αριθμός ξ∈(0, α) τέτοιος ώστε να ισχύει
∫∫ξαξ=α002dt)t(fdt)t(ft
Μονάδες 7

ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ
1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνον τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.
2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε.
Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.
3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα.
4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνον με μπλε ή μαύρο στυλό διαρκείας και μόνον ανεξίτηλης μελάνης.
5. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
6. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.
7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 10.00 π.μ.

KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

Άν θέλετε να μάθετε τις απαντήσεις των σημερινών θεμάτων πατήστε εδώ